Es necesario utilizar herramientas de modelado para la administración de proyectos porque reflejan cómo debe estarse realizando el proyecto. Existen tres razones principales por las que la administración de proyectos requiere de modelos asociados con un proyecto de desarrollo de sistemas:

• Para estimar el tiempo, dinero y personal necesario para desarrollar el proyecto.
• Para actualizar y revisar dichas estimaciones a medida que el proyecto avanza.
• Para administrar las tareas y actividades de quienes trabajan en el proyecto.

Un Proyecto es la realización de una actividad compleja, susceptible de descomponerse en una serie de tareas interdependientes entre sí en cuanto a su orden de ejecución. Los tres elementos básicos a tener en cuenta en un proyecto son: tiempo; recursos y costes. Se puede añadir un cuarto elemento, la calidad. La gestión de proyectos se caracteriza por considerar conjuntamente estas cuatro restricciones y, consta de tres fases:

1. PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN: definir las actividades o tareas y estimar la duración y los recursos necesarios, así como determinar el calendario de ejecución del proyecto.
1. SEGUIMIENTO Y CONTROL DE LA EJECUCIÓN: implica comparar la evolución real con la programación inicial, tomando medidas correctivas cuando los hechos difieren de lo previsto.
1. ANÁLISIS Y EVOLUCIÓN DE LOS RESULTADOS: diferencias entre las duraciones reales y las previstas, entre presupuesto y coste real, ...

Las herramientas que utilizaremos para realizar un control de proyectos son el método PERT y el método CPM, que son herramientas cuantitativas para determinar el camino crítico y, establecen las estimaciones de tiempo más probables para las tareas individuales.

Un suceso es un acontecimiento que no consume recursos. Para representar las diferentes actividades en que se descompone un proyecto y sus correspondientes sucesos, utilizaremos los grafos dirigidos:

El suceso inicio es aquel que no representa el fin de ninguna actividad. Viene representado como un vértice al que no llegan arcos.

El suceso fin es aquel que no representa el comienzo de ninguna actividad. Viene representado como un vértice del que no salen arcos.

La matriz de encaminamientos es una matriz cuadrada cuya dimensión es igual al número de actividades en que se descompone el proyecto. Cuando un elemento aparece marcado por una X, indica que para poder iniciar la actividad que corresponde a la fila que cruza ese elemento es necesario que se haya finalizado previamente la actividad que corresponde a la columna que cruza dicho elemento.

El cuadro de prelaciones está formado por dos columnas. La primera representa las actividades del proyecto y, la segunda representa las actividades precedentes de la primera.

Una actividad ficticia es aquella que no consume tiempo ni recursos. Se representa por una flecha discontinua.

Para construir el grafo PERT tendremos que ir conectando las actividades con sus dependientes, añadiendo las actividades ficticias que hagan falta y, se va construyendo de izquierda a derecha. Se debe tener en cuenta que en un grafo PERT sólo puede existir un suceso inicio y un suceso fin.

Tiempo mínimo en el que podría ejecutarse la actividad si todo marcha bien.

Tiempo que normalmente se empleará en ejecutar la actividad.

Tiempo máximo en el que podría ejecutarse la actividad si todas las circunstancias que influyen en su duración fueran totalmente desfavorable.

Una vez establecidas las tres estimaciones de tiempo, se calcula el tiempo PERT, D, como:

Vamos a calcular este tiempo apoyándonos en un proyecto cuyas actividades y tiempos de ejecución son las que figuran en el cuadro.

Las prelaciones existentes son:

A precede a C, D

B, C preceden a E, F

D precede a F

E precede a H

F precede a G, J

G, J preceden a I

El Tiempo Early de un suceso j, trata de medir el tiempo mínimo necesario para llegar a ese suceso. Se calcula de izquierda a derecha del grafo, comenzando por el suceso inicio del proyecto, al que se le asigna un tiempo early de 0. Se inscribe en un triángulo. Una vez calculado el tiempo early del suceso inicial, se calculan los tiempos early de los sucesos en los que finalizan las actividades que nacen en el suceso inicio del proyecto. Se representa por t_j y su fórmula es:

t_j = máxº [ t_i + t_ij] " i

donde t_ij es la duración de la actividad que comienza en el suceso representado por el vértice "i" y, finaliza en el representado por "j".

El tiempo early del suceso fin del proyecto representa la duración del proyecto e indica el tiempo mínimo necesario para poder finalizar el proyecto.

El Tiempo Last de un suceso i, trata de medir lo más tarde que se puede llegar a ese suceso de manera que la duración del proyecto no se retrase en ninguna unidad de tiempo. Se calcula de derecha a izquierda del grafo, comenzando por el suceso fin del proyecto, al que se le asigna un tiempo last igual al tiempo early calculado. Se inscribe en un cuadrado. Se representa por t_j^* y su fórmula es:

La matriz de Zaderenco se utiliza para proyectos grandes. Se comienza creando una matriz cuadrada de dimensión igual al número de vértices del grafo. Los elementos de la matriz representan los tiempos PERT de las actividades que nacen en el vértice que corresponde a la fila que cruza ese elemento y finalizan en el vértice correspondiente a la columna que cruza dicho elemento.

Para calcular los tiempos early se comienza por agregar una columna adicional en la parte de la izquierda de la matriz, en la que se irán escribiendo los tiempos early. El primer elemento de la columna es 0, ya que corresponde al suceso inicio. Para realizar el cálculo de los tiempos early, se suman los elementos de la columna que corresponde al suceso cuyo tiempo early se está calculando, a los elementos de la columna adicional que representan sucesos en los que comienzan actividades que finalicen en el suceso del que se está calculando su tiempo early. De todas las sumas, la mayor dará el tiempo early buscado.

Para calcular los tiempos last se agregará una fila adicional en la parte inferior de la matriz, en la que se irán escribiendo los tiempos last. El último elemento de la fila corresponde al suceso fin, cuyos tiempos early y last coinciden. Para realizar el cálculo de los tiempos last del resto, se restan los elementos de la fila que corresponde al suceso cuyo tiempo last se está calculando, a los elementos de la fila adicional. De todas las restas, la menor dará el tiempo last buscado.

Los tiempos early y last constituyen la base para el cálculo de las holguras. La Holgura de un suceso i, H_i, se define como la diferencia entre los tiempos last y early de dicho suceso.

Indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización del mismo, de manera que la duración del proyecto no experimente ningún retraso.

La Holgura Total de una actividad ij, H^T_ij se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo last del suceso final el tiempo early del suceso inicial y la duración de la actividad.

Indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización de la actividad con respecto al tiempo PERT previsto, de manera que la duración del proyecto no experimente ningún retraso. Si una actividad consume la totalidad o parte de su holgura total, puede producir una disminución de la holgura total de la siguiente actividad.

Aquellas actividades cuya holgura total sea 0, se denominan Actividades Críticas. Uniendo todas las actividades críticas se forma un camino que va desde el vértice que representa el suceso inicio al que representa el suceso fin del proyecto y, que recibe el nombre de Camino Crítico. Para que una actividad sea crítica es condición necesaria, pero no suficiente que la holgura de los sucesos inicio y fin de la actividad sean 0.

La Holgura Libre de una cierta actividad ij, H^L_ij se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo early del suceso final el tiempo early del suceso inicial y la duración de la actividad

Indica la cantidad de holgura disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos early. Representa la parte de la holgura total que puede ser consumida sin perjudicar a las actividades siguientes. Es siempre menor o igual que la holgura total de la actividad. Para que sean iguales, es c.n.s. que la holgura del suceso fin de la actividad sea 0, ya que en ese caso, los tiempos early y last del suceso fin coinciden.

La Holgura Independiente de una cierta actividad ij, H^I_ij resulta de resztar al tiempo early del suceso final el tiempo last del suceso inicial y la duración de la actividad

Indica la cantidad de holgura disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos last. Es escasa y a veces negativa. Siempre será menor o igual que la holgura libre de la actividad. Para que sean iguales, es c.n.s. que la holgura del suceso inicio de la actividad sea 0. La c.n.s. para que las tres holguras de una actividad sean iguales es que las holguras del suceso inicio y del suceso fin de la actividad sean nulas.

De la información obtenida anteriormente, se podrá deducir fácilmente un calendario de ejecución del proyecto. En este calendario se establecen cuatro fechas para cada actividad, que son las siguientes:

La fecha de comienzo más temprana de una actividad ij, D _ij indica lo más pronto que puede comenzar la actividad ij.

La fecha de comienzo más tardía de una actividad ij, D ^*_ji indica lo más tarde que puede comenzar la actividad ij de manera que la duración prevista del proyecto no se retrase ninguna unidad de tiempo..

La fecha de finalización más temprana de una actividad ij, Ñ _ij indica lo más pronto que puede finalizar la actividad ij.

La fecha de finalización más tardía de una actividad ij, Ñ ^*_ji indica lo más tarde que puede finalizar la actividad ij de manera que la duración prevista del proyecto no se retrase ninguna unidad de tiempo..

Las fechas de comienzo más temprana y más tardía para una actividad crítica coinciden (igual para las fechas de finalización). La diferencia de tiempo entre las fechas de comienzo más tardía y más temprana es exactamente igual a la diferencia de tiempo existente entre las fechas de finalización más tardía y más temprana y coincide con el valor de la holgura total de la actividad.

Hasta ahora, el consumo de los distintos tipos de recursos (mano de obra, materias primas, dinero, ...) no suponían ninguna restricción a la hora de realizar el proyecto. Los métodos del PERT y CPM suponen que los recursos son ilimitados, por lo que deben modificarse a esta nueva situación. De esta forma, surge la programación de proyectos con recursos limitados, en el que existen dos problemas: la nivelación y la asignación de recursos.

• La nivelación pretende: a) que la duración del proyecto no exceda la prevista; b) que los consumos de los diferentes tipos de recurso durante la ejecución del proyecto sean lo más uniforme posible.
• La asignación de recursos pretende minimizar la duración del proyecto, de forma que en ninguno de los periodos de tiempo en los que se ejecuta el proyecto, el consumo de algún recurso exceda las disponibilidades existentes del mismo.

Los métodos de nivelación pretenden conseguir un diagrama de carga tan uniforme como sea posible.

El método empleado para nivelar los recursos consistirá en retrasar la ejecución de las actividades no críticas con respecto a sus fechas tempranas, siempre que el retraso no supere a las correspondientes holguras, pues en tal caso pasarían a ser críticas.

Ante la imposibilidad de aplicar métodos exactos en la resolución de los problemas de nivelación de recursos, se utilizará un algoritmo heurístico que aseguran el hallazgo de un subóptimo. El que estudiaremos es el de Burgess-Killebrew.

1. Buscar la actividad no crítica con la fecha temprana de finalización más avanzada. En esta actividad se retrasa su finalización unidad por unidad de tiempo, de acuerdo con lo que permite su holgura. Se elegirá como fecha de finalización de la actividad, la que haga mínima la suma de los cuadrados de las cargas.

2. Entre todas las actividades no críticas, excluida la actividad estudiada en la fase anterior, se vuelve a elegir la que tenga la fecha temprana de finalización más avanzada. Una vez encontrada, sele aplica el mismo tratamiento que el descrito en la primera fase. Seguidamente, continuaremos el proceso hasta llegar a la actividad que posea una fecha temprana de finalización más retrasada, aplicándole el mismo tratamiento. Cuando dos o más actividades tengan la misma fecha temprana de finalización, se actuará prioritariamente sobre la actividad cuya holgura permita un retraso mayor en su finalización.

3. Una vez analizada la actividad con la fecha temprana de finalización más retrasada, se vuelve a iniciar un nuevo ciclo de iteraciones. El proceso de cálculo se detendrá cuando, finalizado un ciclo, no resulte posible disminuir la suma de los cuadrados de las cargas.

El algoritmo puede aplicarse igual a un calendario que esté basado en las fechas tardías. En ambos casos, se llega a la misma solución, pero el número de ciclos e iteraciones puede cambiar.

El algoritmo nunca nos dirá si se ha llegado a una solución óptima, excepto en aquellos casos en los que se alcanza un alisado óptimo. Una de las ventajas de este algoritmo es que es factible de ser procesado por ordenador, pero uno de sus principales inconvenientes es que está pensado para la nivelación de un solo recurso.

Para este tipo de problemas, el objetivo consiste en conseguir que el consumo diario del recurso (carga) no exceda las disponibilidades existentes del mismo. La escasez del recurso que se esté estudiando, obliga a modificar el calendario de ejecución, por lo que podrá repercutir en un retraso en la terminación del proyecto. El objetivo de los algoritmos de asignación de recursos, consiste en obtener un nuevo calendario que haga mínima la duración del proyecto, satisfaciendo las restricciones impuestas por las disponibilidades de los recursos.

El método empleado para la asignación de recursos consistirá en retrasar la ejecución de las actividades no críticas con respecto a sus fechas tempranas, dentro de lo que permiten sus holguras. En nuestro caso, el algoritmo heurístico que estudiaremos trata de asignar los recursos periodo por periodo. En el primer periodo se programan todas las actividades que se puedan ejecutar en el mismo, siempre que no se superen las disponibilidades de recurso existentes. A continuación, se procede de la misma manera con los demás periodos y así sucesivamente. Cuando las disponibilidades de un periodo no cubren la carga del mismo, se dará preferencia a las actividades que dispongan de menos holgura. La mecánica del algoritmo permite volver a programar cuando sea necesario, la ejecución de las actividades no críticas, con objeto de dejar recursos disponibles para la ejecución de las actividades críticas.